7. Sınıf Çokgenler Konu Anlatımı

Çokgenler, 7. sınıf matematikte geometri konularının önemli başlıklarından biridir. Üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve daha birçok geometrik şekil çokgenlerin özel örnekleridir. Çokgenleri tanımak, kenar ve köşe sayılarını belirlemek, iç ve dış açılarını anlamak ve çokgenlerin özelliklerini kullanarak problem çözmek bu konunun temelini oluşturur.

Bu konuda öğreneceklerimiz:

• Çokgen nedir?
• Çokgenlerin temel özellikleri
• Kenar ve köşe sayısı
• Üçgen, dörtgen, beşgen ve diğer çokgenler
• Düzgün çokgen nedir?
• Çokgenlerin iç açıları
• İç açıların toplamı
• Dış açılar
• Köşegen nedir?
• Köşegen sayısı nasıl bulunur?
• Düzgün çokgenlerde açı hesaplama
• Örnek sorular ve mini test

Çokgen Nedir?

En az üç doğru parçasının uç uca birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

          A
         / \
        /   \
       /     \
      B───────C    ÜÇGEN

3 kenarlı kapalı şekil → üçgen

Bir şeklin çokgen olabilmesi için bazı şartları sağlaması gerekir:

• Şekil kapalı olmalıdır.
• Kenarları doğru parçalarından oluşmalıdır.
• En az 3 kenarı bulunmalıdır.
• Kenarlar uç uca birleşmelidir.

Çokgenlerin Temel Özellikleri

Bir çokgende bulunan temel bölümler kenar, köşe, iç açı, dış açı ve köşegen olarak düşünülebilir.

              A
             / \
            /   \
           /  ↘  \
          D───────B
           \     /
            \   /
             \ /
              CA, B, C, D → KÖŞELER
AB, BC, CD, DA → KENARLAR
AC → KÖŞEGEN

Köşe: İki kenarın birleştiği noktadır.

Kenar: Çokgeni oluşturan doğru parçalarından her biridir.

Köşegen: Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.

İç açı: Çokgenin içerisinde oluşan açılardır.

Dış açı: Bir kenarın uzatılmasıyla iç açının dışında oluşan açıdır.

Çokgenler Kenar Sayılarına Göre Nasıl Adlandırılır?

Çokgenler sahip oldukları kenar sayılarına göre adlandırılır.

Kenar Sayısı	Çokgenin Adı	Basit Gösterim
3	Üçgen	△
4	Dörtgen	▱
5	Beşgen	⬠
6	Altıgen	⬡
7	Yedigen	7 kenar
8	Sekizgen	⯃
9	Dokuzgen	9 kenar
10	Ongen	10 kenar

Üçgen

Üçgen, üç kenarı ve üç köşesi bulunan çokgendir.

       A
      / \
     /   \
    /     \
   B───────C

3 kenar + 3 köşe + 3 iç açı

Üçgenler çokgenlerin en küçük türüdür. Çünkü bir çokgenin oluşabilmesi için en az üç kenar gerekir.

Dörtgen

Dörtgen, dört kenarı ve dört köşesi bulunan çokgendir.

     A────────B
     │        │
     │        │
     D────────C

4 kenar + 4 köşe + 4 iç açı

Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuk dörtgenlere örnektir.

Beşgen

Beşgen, beş kenarı ve beş köşesi bulunan çokgendir.

        A
       / \
      /   \
     E     B
     │     │
      \   /
       \ /
        D
        │
        C

5 kenar + 5 köşe

Altıgen

Altıgen, altı kenarı ve altı köşesi bulunan çokgendir.

       A────B
      /      \
     F        C
      \      /
       E────D

6 kenar + 6 köşe

Sekizgen

Sekizgen, sekiz kenarı ve sekiz köşesi bulunan çokgendir.

        A────B
       /      \
      H        C
      │        │
      G        D
       \      /
        F────E

8 kenar + 8 köşe

Düzgün Çokgen Nedir?

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit ve bütün iç açıları birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

          /────\
        /        \
       │          │
       │          │
        \        /
          \────/

Eş kenarlar + Eş iç açılar = Düzgün çokgen

Örneğin düzgün üçgenin bütün kenarları ve açıları eşittir. Düzgün dörtgen ise karedir.

Önemli: Bir çokgenin yalnızca kenarlarının eşit olması onun düzgün çokgen olduğunu göstermeye yetmez. İç açılarının da eşit olması gerekir.

Çokgenlerde Köşe ve Kenar Sayısı

Bir çokgende kaç tane kenar varsa aynı sayıda köşe bulunur.

5 kenar → 5 köşe

6 kenar → 6 köşe

7 kenar → 7 köşe

8 kenar → 8 köşe

Bu nedenle bir çokgenin kenar sayısını bulduğumuzda köşe sayısını da bulmuş oluruz.

Çokgenlerde Köşegen Nedir?

Bir çokgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

       A────────B
      / \      / \
     /   \    /   \
    D─────\──/────C
     \     \/     /
      \          /
       ──────────

Komşu olmayan köşeleri birleştiren çizgiler köşegendir.

Örneğin bir dörtgende A köşesinden B ve D komşu köşelerdir. A’dan C’ye çizilen doğru parçası ise köşegendir.

Unutma: Komşu iki köşe arasındaki doğru parçası köşegen değildir. Çünkü o zaten çokgenin kenarıdır.

Bir Köşeden Kaç Köşegen Çizilebilir?

Bir n kenarlı çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı:

n – 3

şeklinde bulunur.

Buradaki n, çokgenin kenar sayısını gösterir.

Örnek: Beşgenden kaç köşegen çıkar?

Beşgenin kenar sayısı 5’tir.

5 – 3 = 2

Demek ki bir köşeden 2 köşegen çizilebilir.

        A
       /|\
      / | \
     /  |  \
    E───┼───B
     \  |  /
      \ | /
       \|/
        D

Çokgenin Toplam Köşegen Sayısı

Bir n kenarlı çokgenin toplam köşegen sayısı şu formülle bulunur:

n × (n – 3) ÷ 2

Burada n çokgenin kenar sayısıdır.

Örnek: Altıgenin kaç köşegeni vardır?

Altıgenin kenar sayısı 6’dır.

6 × (6 – 3) ÷ 2

6 × 3 ÷ 2 = 9

Sonuç olarak bir altıgenin toplam 9 köşegeni vardır.

Çokgen Bir Köşegenden Bölündüğünde Oluşan Üçgenler

Bir çokgende bir köşeden köşegenler çizerek çokgeni üçgenlere ayırabiliriz.

          A
         /|\
        / | \
       /  |  \
      /   |   \
     D────┼────B
      \   |   /
       \  |  /
        \ | /
         \|/
          C

Çokgen üçgenlere ayrılabilir.

n kenarlı bir çokgen bir köşeden çizilen köşegenlerle:

n – 2

tane üçgene ayrılır.

Örnek: Beşgen kaç üçgene ayrılır?

5 – 2 = 3

Bir beşgen bir köşeden çizilen köşegenlerle 3 üçgene ayrılabilir.

Çokgenlerin İç Açıları Toplamı

Bir çokgenin iç açıları toplamını bulmak için çokgeni üçgenlere ayırabiliriz.

        A────────B
       /|\      / 
      / | \    /
     F──|──\──C
      \ |   \/
       \|   /
        E──D

Çokgen üçgenlere ayrıldığında iç açı toplamı kolayca bulunabilir.

n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı:

(n – 2) × 180°

Üçgenin İç Açıları Toplamı

Üçgen için:

(3 – 2) × 180° = 180°

Yani üçgenin iç açıları toplamı 180°dir.

       A
      / \
     /   \
    /     \
   B───────CA + B + C = 180°

Dörtgenin İç Açıları Toplamı

Dörtgen için:

(4 – 2) × 180° = 360°

Her dörtgenin iç açıları toplamı 360°dir.

A + B + C + D = 360°

Beşgenin İç Açıları Toplamı

Beşgen için:

(5 – 2) × 180° = 540°

Beşgenin iç açıları toplamı 540°dir.

Altıgenin İç Açıları Toplamı

Altıgen için:

(6 – 2) × 180° = 720°

Altıgenin iç açıları toplamı 720°dir.

Çokgenlerin İç Açıları Toplamı Tablosu

Çokgen	Kenar Sayısı	İç Açı Toplamı
Üçgen	3	180°
Dörtgen	4	360°
Beşgen	5	540°
Altıgen	6	720°
Yedigen	7	900°
Sekizgen	8	1080°
Ongen	10	1440°

Düzgün Çokgenin Bir İç Açısı Nasıl Bulunur?

Düzgün çokgenlerde bütün iç açılar eşittir. Bu nedenle önce iç açıların toplamını bulur, ardından kenar sayısına böleriz.

Bir iç açı = İç açıların toplamı ÷ Kenar sayısı

Örnek: Düzgün beşgenin bir iç açısı

Önce iç açıların toplamını bulalım:

(5 – 2) × 180 = 540°

Beşgen düzgün olduğu için 5 eş açı vardır:

540 ÷ 5 = 108°

Sonuç olarak düzgün beşgenin bir iç açısı 108°dir.

Düzgün Altıgenin Bir İç Açısı

Altıgenin iç açıları toplamı:

(6 – 2) × 180 = 720°

Düzgün altıgenin 6 eş iç açısı vardır:

720 ÷ 6 = 120°

Düzgün altıgenin bir iç açısı = 120°

Çokgenlerde Dış Açı

Bir çokgenin bir kenarı uzatıldığında, iç açı ile dış açı birlikte bir doğru açı oluşturur.

──────────────────────
             /
            /
           /
          /

İç açı + dış açı = 180°

Örneğin bir iç açı 120° ise dış açı:

180° – 120° = 60°

olur.

Düzgün Çokgende Bir Dış Açı

Düzgün bir çokgende bütün dış açılar eşittir.

Bir düzgün çokgenin dış açı ölçüsünü bulmak için:

360° ÷ n

formülü kullanılır.

Örnek: Düzgün altıgenin bir dış açısı

360 ÷ 6 = 60°

Yani düzgün altıgenin bir dış açısı 60°dir.

İç Açı ve Dış Açı Arasındaki İlişki

             /
            /
           /
          ●──────────────
         /
        /

İç açı + dış açı = 180°

Örneğin:

İç açı = 135°

Dış açı = 180 – 135 = 45°

Çokgenlerde Çevre

Bir çokgenin bütün kenar uzunluklarının toplamına çevre denir.

       6 cm
    ┌────────┐
 4cm│        │4cm
    └────────┘
       6 cm

Çevre = 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm

Dikdörtgen gibi özel dörtgenlerde çevre formülleri kullanılabilir. Ancak genel olarak çokgenin çevresini bulmak için bütün kenarlar toplanır.

Düzgün Çokgenin Çevresi

Düzgün çokgende bütün kenarlar eşit olduğu için çevreyi daha kısa yoldan bulabiliriz.

Çevre = Kenar sayısı × Bir kenarın uzunluğu

Örnek

Düzgün altıgenin bir kenarı 5 cm ise çevresi:

6 × 5 = 30 cm

olur.

Çokgenlerde Alanı Anlamanın Temeli

Çokgenlerin alanını hesaplarken şekli daha kolay alanlara ayırabiliriz.

       ┌─────────┐
       │    │    │
       │    │    │
       │────┼────│
       │    │    │
       │    │    │
       └─────────┘

Bir şekli daha basit parçalara ayırarak alanını hesaplamak mümkündür.

Örneğin karmaşık bir çokgeni dikdörtgen, kare veya üçgen gibi daha kolay hesaplanan şekillere ayırabiliriz.

Örnek Soru 1: Kenar Sayısını Bulalım

Bir çokgenin 7 köşesi olduğuna göre kaç kenarı vardır?

Çokgenlerde köşe sayısı ile kenar sayısı birbirine eşittir.

Cevap: 7 kenar

Bu çokgen yedigen olarak adlandırılır.

Örnek Soru 2: İç Açı Toplamı

Bir sekizgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

Formül:

(n – 2) × 180°

n = 8 olduğuna göre:

(8 – 2) × 180 = 6 × 180 = 1080°

Cevap: 1080°

Örnek Soru 3: Düzgün Altıgen

Düzgün altıgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Önce iç açı toplamını bulalım:

(6 – 2) × 180 = 720°

6 eş açı bulunduğundan:

720 ÷ 6 = 120°

Cevap: 120°

Örnek Soru 4: Köşegen Sayısı

Bir beşgenin toplam kaç köşegeni vardır?

Formül:

n × (n – 3) ÷ 2

5 × (5 – 3) ÷ 2

5 × 2 ÷ 2 = 5

Cevap: 5 köşegen

Örnek Soru 5: Dış Açı

Düzgün bir ongenin bir dış açısı kaç derecedir?

Formül:

360 ÷ n

360 ÷ 10 = 36°

Cevap: 36°

Çokgenler İçin Formül Kutusu

İç açıların toplamı:

(n – 2) × 180°

Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı:

n – 3

Toplam köşegen sayısı:

n × (n – 3) ÷ 2

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı:

[(n – 2) × 180°] ÷ n

Bir düzgün çokgenin bir dış açısı:

360° ÷ n

Düzgün çokgenin çevresi:

n × bir kenar uzunluğu

Çokgenler Konusunda Sık Yapılan Hatalar

1. Hata: Köşegen ile kenarı karıştırmak

Komşu iki köşeyi birleştiren doğru parçası kenardır. Köşegen ise komşu olmayan köşeleri birleştirir.

2. Hata: İç açı toplamını yanlış bulmak

İç açı toplamında (n – 2) × 180° formülünü kullanmalıyız.

3. Hata: Düzgün çokgeni sadece eş kenarlı sanmak

Düzgün çokgende hem bütün kenarlar hem de bütün iç açılar eşittir.

4. Hata: Dış açıyı doğrudan iç açı sanmak

Bir iç açı ile ona komşu dış açının toplamı 180°dir.

5. Hata: Kenar sayısını yanlış belirlemek

Çokgenin köşelerini tek tek sayarak kenar sayısını kontrol etmek hata yapma ihtimalini azaltır.

Kendini Dene

Soru 1

5 kenarlı bir çokgene ne ad verilir?

A) Dörtgen

B) Beşgen

C) Altıgen

D) Yedigen

Cevap: B

Soru 2

Bir dörtgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

A) 180°

B) 270°

C) 360°

D) 540°

Cevap: C

Soru 3

Bir beşgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

A) 360°

B) 450°

C) 540°

D) 720°

Cevap: C

Soru 4

Düzgün altıgenin bir iç açısı kaç derecedir?

A) 90°

B) 108°

C) 120°

D) 135°

Cevap: C

Soru 5

Bir beşgenin toplam kaç köşegeni vardır?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

Cevap: C

Soru 6

Düzgün bir ongenin bir dış açısı kaç derecedir?

A) 18°

B) 30°

C) 36°

D) 45°

Cevap: C

Soru 7

Bir yedigenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

A) 720°

B) 900°

C) 1080°

D) 1260°

Cevap: B

Soru 8

Bir düzgün beşgenin bir dış açısı kaç derecedir?

A) 36°

B) 60°

C) 72°

D) 108°

Cevap: C

Mini Test

1. Aşağıdakilerden hangisi çokgen değildir?

A) Üçgen

B) Kare

C) Beşgen

D) Çember

2. Sekizgenin kaç kenarı vardır?

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

3. Altıgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

A) 540°

B) 720°

C) 900°

D) 1080°

4. Bir sekizgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

A) 16

B) 20

C) 24

D) 28

5. Düzgün bir sekizgenin bir dış açısı kaç derecedir?

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

6. Bir düzgün beşgenin bir iç açısı kaç derecedir?

A) 90°

B) 108°

C) 120°

D) 135°

7. Bir köşeden 4 köşegen çizilebilen çokgen kaç kenarlıdır?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

8. Düzgün bir altıgenin bir dış açısı kaç derecedir?

A) 45°

B) 60°

C) 72°

D) 90°

9. Bir çokgenin bütün kenarları ve bütün iç açıları eşitse bu çokgene ne denir?

A) Kapalı şekil

B) Düzgün çokgen

C) Kesen çokgen

D) Açık şekil

10. Bir dörtgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

Mini Test Cevap Anahtarı

1-D | 2-C | 3-B | 4-B | 5-B | 6-B | 7-C | 8-B | 9-B | 10-B

Çokgenler Hızlı Tekrar Şeması

                    ÇOKGENLER
                        │
        ┌───────────────┼────────────────┐
        │               │                │
      KENAR            KÖŞE            AÇI
        │               │                │
    3 → Üçgen       Kenar sayısı     İç açı
    4 → Dörtgen     ile eşittir      Dış açı
    5 → Beşgen                       Köşegen
    6 → Altıgen
    8 → Sekizgen
                        │
                  DÜZGÜN ÇOKGEN
                        │
              Eş kenar + Eş açı
                        │
        ┌───────────────┼───────────────┐
        │               │               │
   İç açı toplamı    Köşegen        Dış açı
   (n-2)×180°       n(n-3)/2        360°/n

Sınav Öncesi Ezberlenmesi Gerekenler

Çokgen: En az üç doğru parçasının oluşturduğu kapalı şekildir.

Üçgen: 3 kenar.

Dörtgen: 4 kenar.

Beşgen: 5 kenar.

Altıgen: 6 kenar.

Yedigen: 7 kenar.

Sekizgen: 8 kenar.

Düzgün çokgen: Bütün kenarları ve açıları eşit olan çokgendir.

İç açı toplamı: (n – 2) × 180°

Bir köşeden köşegen: n – 3

Toplam köşegen: n × (n – 3) ÷ 2

Bir düzgün çokgenin iç açısı: [(n – 2) × 180°] ÷ n

Bir düzgün çokgenin dış açısı: 360° ÷ n

Düzgün çokgenin çevresi: Kenar sayısı × bir kenar uzunluğu

Sonuç

7. sınıf çokgenler konusunda başarılı olmak için öncelikle çokgenin ne olduğunu ve kenar sayılarına göre nasıl adlandırıldığını öğrenmek gerekir. Daha sonra köşe, kenar, iç açı, dış açı ve köşegen kavramları birbirinden ayırt edilmelidir.

Özellikle çokgenlerin iç açıları toplamı, köşegen sayısı, düzgün çokgenlerde iç açı ve dış açı hesaplama soruları dikkatle çalışılmalıdır.

Çokgen sorularında altın kural:

Önce kenar sayısını bul → Formülü seç → İşlemi yap → Sonucu kontrol et.

Çokgenler konusunu öğrendiğinde üçgenlerden ongenlere kadar birçok geometrik şekli daha kolay tanıyabilir, açı ve köşegen sorularını adım adım çözebilirsin.