Doğrular ve açılar, 7. sınıf matematikte geometri ve ölçme alanının önemli konularından biridir. Bu konuda doğru, doğru parçası, ışın, açı, açıortay, paralel doğrular, kesen doğru, yöndeş açılar, ters açılar, iç ters açılar, dış ters açılar ve bütünler açılar gibi kavramlar öğrenilir.
Özellikle iki paralel doğrunun bir kesen tarafından kesilmesiyle oluşan açıları doğru tanımak, açıların birbirleriyle olan ilişkilerini görmek ve bilinmeyen açıları bulmak bu konunun temelini oluşturur. MEB’in 7. sınıf kazanımlarında da açıortay ile birlikte paralel iki doğru ve bir kesenin oluşturduğu yöndeş, ters, iç ters ve dış ters açıların incelenmesi yer almaktadır.
Bu konu anlatımında kavramları sadece formüllerle değil, çizimler, şemalar ve adım adım örneklerle öğrenmeye çalışacağız.
Doğru Nedir?
Her iki yönde de sonsuza kadar uzayabilen düz çizgilere doğru denir.
←──────────── A ──────────── B ────────────→
Bu çizgi her iki yönde de sonsuza kadar devam eder.
Bir doğru üzerinde bulunan iki noktayı kullanarak doğruyu adlandırabiliriz.
Örneğin A ve B noktalarından geçen doğruya AB doğrusu denilebilir.
Doğru Parçası Nedir?
Bir doğrunun iki uç nokta arasında kalan bölümüne doğru parçası denir.
A ●━━━━━━━━━━━━● B
AB doğru parçası
Doğru parçasının iki ucu bellidir. Bu nedenle uzunluğu ölçülebilir.
Işın Nedir?
Bir başlangıç noktası olan ve tek yönde sonsuza kadar uzanan çizgiye ışın denir.
A ●━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━→
A noktası ışının başlangıç noktasıdır.
Doğru, doğru parçası ve ışın arasındaki farkı şu şekilde düşünebiliriz:
| Kavram | Özellik | Gösterim |
|---|---|---|
| Doğru | İki yönde sonsuza uzanır. | ←────→ |
| Doğru parçası | İki uç noktası vardır. | ●────● |
| Işın | Bir başlangıç noktası vardır. | ●────→ |
Açı Nedir?
Aynı başlangıç noktasına sahip iki ışının oluşturduğu şekle açı denir.
B
/
/
/
O──────────── C ∠BOC
O noktası açının köşesidir.
OB ve OC ışınları açının kollarıdır.
Bir açıda üç temel bölüm vardır:
- Köşe: Işınların ortak başlangıç noktasıdır.
- Kollar: Açıyı oluşturan ışınlardır.
- Açı bölgesi: Işınların arasında kalan bölgedir.
Açı Nasıl Adlandırılır?
Bir açı genellikle üç harfle adlandırılır. Ortadaki harf mutlaka açının köşesini gösterir.
∠ABC
Burada B açının köşesidir.
Bu nedenle açı adlandırırken ortadaki harfe özellikle dikkat etmeliyiz.
Açı Ölçüsü
Açıların ölçü birimi derecedir ve derece sembolü ° şeklinde gösterilir.
Örneğin:
30°, 45°, 90°, 120°, 180°
birer açı ölçüsüdür.
Açı Çeşitleri
Açıları ölçülerine göre sınıflandırabiliriz.
Dar Açı
Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.
/
/
/
O────────→40°
40° dar açıdır.
Dik Açı
Ölçüsü tam olarak 90° olan açıya dik açı denir.
|
|
|
O────────
90°
90° = dik açı
Geniş Açı
Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.
────────
/
/
O 120°
120° geniş açıdır.
Doğru Açı
Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.
←──────── O ────────→
180° = doğru açı
Tam Açı
Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.
↗ ↑ ↖
← O →
↘ ↓ ↙
360° = tam açı
Açı Çeşitlerini Karşılaştıralım
| Açı çeşidi | Ölçüsü |
|---|---|
| Dar açı | 0° ile 90° arasında |
| Dik açı | 90° |
| Geniş açı | 90° ile 180° arasında |
| Doğru açı | 180° |
| Tam açı | 360° |
Açıortay Nedir?
Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. 7. sınıf kazanımlarında bir açıyı iki eş açıya ayırarak açıortayın belirlenmesi özellikle yer almaktadır.
A
/
/ 30°
/
O
\
\ 30°
\
C ↑
açıortay
60°’lik açı iki eş parçaya ayrılmıştır.
30° + 30° = 60°
Örneğin 80°’lik bir açı açıortay ile iki eş parçaya ayrılırsa:
80 ÷ 2 = 40°
Her iki küçük açı 40° olur.
Açıortay Sorusu Nasıl Çözülür?
Bir açıortay, açıyı iki eş parçaya ayırır.
Örneğin:
∠ABC = 100°
BD ışını bu açının açıortayıysa:
∠ABD = ∠DBC
olur.
100°’yi ikiye bölelim:
100 ÷ 2 = 50°
50° + 50° = 100°
Bu nedenle açıortay sorularında ilk akla gelen işlem çoğu zaman ikiye bölmek olmalıdır.
Komşu Açılar
Bir kenarları ve köşeleri ortak olan açılara komşu açılar denir.
A
/
/
O──────── B
\
\
C∠AOB ve ∠BOC
komşu açılardır.
Komşu açılarda ortak bir köşe ve ortak bir kenar bulunur.
Tümler Açılar
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.
30° + 60° = 90°
Bu iki açı tümlerdir.
Örneğin bir açının ölçüsü 35° ise onun tümlerini bulmak için:
90 – 35 = 55°
Sonuç 55° olur.
Bütünler Açılar
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.
120° + 60° = 180°
Bu iki açı bütünler açılardır.
Örneğin bir açının ölçüsü 125° ise bütünlerinin ölçüsü:
180 – 125 = 55°
olur.
Doğruların Birbirine Göre Durumları
İki doğru birbirine göre farklı şekillerde bulunabilir.
Kesişen Doğrular
Bir noktada kesişen doğrulara kesişen doğrular denir.
\ /
\ /
\ /
\ /
\/
/\
/ \
/ \
/ \
İki doğru bir noktada kesişmektedir.
Paralel Doğrular
Aynı düzlemde bulunan ve hiçbir noktada kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.
←────────────────→
←────────────────→
d ∥ e
Paralel doğrular arasındaki uzaklık sabittir.
Dik Doğrular
90°lik açı oluşturarak kesişen doğrulara dik doğrular denir.
|
|
|
──────┼──────
|
|
|
90°
Kesen Doğru Nedir?
İki doğruyu farklı noktalarda kesen doğruya kesen doğru denir.
────────────────────────────
/
/
/
/
────────────────────────────
Eğik çizgi iki doğruyu kesmektedir.
Özellikle paralel iki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılar 7. sınıf düzeyinde önemli bir konudur.
Paralel İki Doğru ve Bir Kesen
Şimdi konunun en önemli çizimlerinden birini inceleyelim.
1 2
─────────┼──────────
4│ 3
│
│
5 │ 6
─────────┼──────────
8 7
Üstteki ve alttaki doğrular birbirine paraleldir.
Dikey doğru ise kesendir.
Bu şekilde toplam 8 açı oluşur.
Bu açıların birbirleriyle olan ilişkilerini öğrenmek, bilinmeyen açıları bulmayı çok kolaylaştırır.
Yöndeş Açılar
Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan aynı konumda bulunan açılara yöndeş açılar denir.
1 2
─────────┼──────────
4│ 3
│
│
5 │ 6
─────────┼──────────
8 7
1 ve 5 yöndeş açılardır.
2 ve 6 yöndeş açılardır.
3 ve 7 yöndeş açılardır.
4 ve 8 yöndeş açılardır.
Paralel doğrularda yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Örneğin:
∠1 = 70° ise:
∠5 = 70°
olur.
Ters Açılar
İki doğrunun kesişmesiyle oluşan ve birbirinin karşısında bulunan açılara ters açılar denir.
\ /
\ 1 2/
\ /
\ /
X
/ \
/ 4 \
/ \
Karşılıklı açılar ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Örneğin:
∠1 = 65°
ise karşısındaki ters açı da:
65°
olur.
İç Ters Açılar
Paralel iki doğrunun arasında kalan ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılara iç ters açılar denir.
───────────────
\ 3
\
5 \
──────────\──────
İç bölgede ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılar iç ters açı çiftlerini oluşturur.
Paralel doğrularda iç ters açıların ölçüleri eşittir.
Dış Ters Açılar
Paralel iki doğrunun dışında kalan ve kesenin farklı taraflarında bulunan açılara dış ters açılar denir.
Paralel doğrularda dış ters açıların ölçüleri de birbirine eşittir.
1
──────────────
\
\
\
──────────────
7
Dış bölgelerdeki uygun açı çiftleri dış ters açılardır.
Yöndeş, İç Ters ve Dış Ters Açılar İçin Büyük Şema
1 2
──────────┼────────────
│
4 │ 3
│
│
5 │ 6
──────────┼────────────
8 7
YÖNDEŞ:
1 = 5
2 = 6
3 = 7
4 = 8
İÇ TERS:
4 = 6
3 = 5
DIŞ TERS:
1 = 7
2 = 8
Paralel doğrularda bu eşitlikler bilinmeyen açıları bulmada çok kullanılır.
Bir Açı Verildiğinde Diğer Açıları Bulma
Şimdi en önemli soru tiplerinden birini çözelim.
70° 110°
─────────┼──────────
110° 70°
│
│
70° 110°
─────────┼──────────
110° 70°
Bir açının 70° olduğunu düşünelim.
Yöndeş açı olduğu için karşılık gelen açı da 70° olur.
Komşu açıların toplamı 180° olduğundan:
180 – 70 = 110°
Böylece şekildeki açılar yalnızca iki farklı değere sahip olur:
70° ve 110°
Çok Önemli Kural: Komşu Açılar
Bir doğru üzerinde yan yana duran iki açı oluşturuyorsa bu açıların toplamı 180° olur.
───────────O───────────
/
/
/
a + b = 180°
Örneğin bir açı 75° ise diğer açı:
180 – 75 = 105°
olur.
Örnek Soru: Bilinmeyen Açıyı Bulalım
Paralel iki doğru bir kesen tarafından kesiliyor. Bir açı 65° olduğuna göre aynı doğru üzerinde bulunan komşu açı kaç derecedir?
Komşu açıların toplamı 180° olduğundan:
x + 65 = 180
x = 115°
65° + 115° = 180°
Bu nedenle bilinmeyen açı 115°dir.
Örnek Soru: Yöndeş Açılar
Paralel iki doğruyu kesen bir doğru üzerinde bir açı 80° olarak verilmiştir. Bu açının yöndeşi kaç derecedir?
Paralel doğrularda yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Bu nedenle:
x = 80°
Örnek Soru: İç Ters Açılar
Paralel iki doğruyu kesen bir doğru üzerinde iç ters açılardan biri 125° ise diğeri kaç derecedir?
İç ters açıların ölçüleri eşittir.
x = 125°
Örnek Soru: Dış Ters Açılar
Dış ters açılardan biri 55° ise diğer dış ters açı kaç derecedir?
Dış ters açılar paralel doğrularda eş olduğundan:
x = 55°
Paralellik Nasıl Anlaşılır?
Örneğin uygun yöndeş açıların ölçüleri eşitse doğruların paralel olduğu sonucuna ulaşabiliriz.
Yöndeş açılar eşitse
↓
Doğrular paralel olabilir.
Doğrular ve Açılar Konusunda Problem Çözme Stratejisi
1. Adım: Şekilde paralel doğruları bul.
2. Adım: Keseni belirle.
3. Adım: Verilen açıyı işaretle.
4. Adım: Aranan açıyla verilen açı arasındaki ilişkiyi bul.
5. Adım: Açılar eşitse doğrudan aynı değeri yaz.
6. Adım: Komşu veya bütünler açıysa 180°’den çıkar.
7. Adım: Sonucu şekil üzerinde kontrol et.
Açı Sorularında Kullanılan Temel Kurallar
| Açı ilişkisi | Kural |
|---|---|
| Ters açılar | Ölçüleri eşittir. |
| Yöndeş açılar | Paralel doğrularda ölçüleri eşittir. |
| İç ters açılar | Paralel doğrularda ölçüleri eşittir. |
| Dış ters açılar | Paralel doğrularda ölçüleri eşittir. |
| Tümler açılar | Toplamları 90°dir. |
| Bütünler açılar | Toplamları 180°dir. |
| Açıortay | Açıyı iki eş parçaya böler. |
Sık Yapılan Hatalar
Hata 1: Yöndeş açıyı komşu açı sanmak
Yöndeş açıları bulurken açının sadece yakınlığına değil, şekildeki konumuna bakmalıyız.
Hata 2: Komşu açılarda eşitlik kullanmak
Komşu açılar her zaman eşit değildir.
Bir doğru üzerinde komşu iki açı varsa toplamları 180° olur.
Hata 3: Ters açı ile iç ters açıyı karıştırmak
Ters açılar aynı kesişim noktasında karşı karşıya bulunur.
İç ters açılar ise iki paralel doğrunun arasında ve kesenin farklı taraflarında bulunur.
Hata 4: Açıortayı ikiye bölmeyi unutmak
Açıortay bir açıyı iki eş açıya ayırır.
Konu Özeti
Doğru: İki yönde sonsuza uzanır.
Doğru parçası: İki uç noktası vardır.
Işın: Bir başlangıç noktası vardır ve tek yönde uzar.
Açı: Aynı başlangıç noktasına sahip iki ışının oluşturduğu şekildir.
Açıortay: Açıyı iki eş parçaya ayırır.
Paralel doğrular: Kesişmeyen doğrulardır.
Kesen: İki doğruyu kesen doğrudur.
Yöndeş açılar: Uygun konumdaki açılardır ve paralel doğrularda eşittir.
İç ters açılar: Paralel doğruların arasında ve kesenin farklı taraflarında bulunur; eşittir.
Dış ters açılar: Paralel doğruların dışında ve kesenin farklı taraflarında bulunur; eşittir.
Ters açılar: Karşılıklı açılardır ve eşittir.
Tümler açılar: Toplamları 90°dir.
Bütünler açılar: Toplamları 180°dir.
Kendini Dene
Soru 1
Ölçüsü 90° olan açı aşağıdakilerden hangisidir?
A) Dar açı
B) Dik açı
C) Geniş açı
D) Doğru açı
Cevap: B
Soru 2
40°lik bir açının tümleri kaç derecedir?
A) 40°
B) 50°
C) 140°
D) 180°
Cevap: B
Çünkü:
90 – 40 = 50°
Soru 3
125°lik bir açının bütünleri kaç derecedir?
A) 45°
B) 55°
C) 65°
D) 75°
Cevap: B
180 – 125 = 55°
Soru 4
80°lik bir açının açıortayla ikiye ayrılması sonucunda oluşan küçük açıların her biri kaç derecedir?
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
Cevap: C
Soru 5
Paralel iki doğrunun bir kesen tarafından oluşturduğu yöndeş açılardan biri 70° ise diğer yöndeş açı kaç derecedir?
A) 70°
B) 90°
C) 110°
D) 180°
Cevap: A
Mini Test
1. Aşağıdakilerden hangisi iki yönde sonsuza kadar uzar?
A) Işın
B) Doğru parçası
C) Doğru
D) Açı
2. 35°lik bir açının tümleri kaç derecedir?
A) 45°
B) 55°
C) 145°
D) 155°
3. 145°lik bir açının bütünleri kaç derecedir?
A) 25°
B) 35°
C) 45°
D) 55°
4. 120°lik bir açı açıortay ile ikiye ayrılırsa her açı kaç derece olur?
A) 30°
B) 40°
C) 50°
D) 60°
5. Paralel iki doğruyu kesen bir doğru üzerinde oluşan yöndeş açılardan biri 85° ise diğer yöndeş açı kaç derecedir?
A) 85°
B) 95°
C) 105°
D) 180°
6. Ters açılardan biri 75° ise karşısındaki ters açı kaç derecedir?
A) 15°
B) 75°
C) 105°
D) 115°
7. Bir doğru üzerinde komşu açılardan biri 115° ise diğer açı kaç derecedir?
A) 55°
B) 65°
C) 75°
D) 85°
8. Paralel doğrularda iç ters açılardan biri 125° ise diğeri kaç derecedir?
A) 55°
B) 65°
C) 125°
D) 180°
9. Aşağıdakilerden hangisi paralel doğruların özelliğidir?
A) Her zaman dik kesişirler.
B) Bir noktada kesişirler.
C) Aynı düzlemde olduklarında kesişmezler.
D) Her zaman 90°lik açı oluştururlar.
10. 60°lik bir açının açıortayı çizildiğinde oluşan açılardan biri kaç derece olur?
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 60°
Mini Test Cevap Anahtarı
1-C | 2-B | 3-B | 4-D | 5-A | 6-B | 7-B | 8-C | 9-C | 10-B
Sınav Öncesi Hızlı Tekrar
90° = Dik açı
180° = Doğru açı
360° = Tam açı
Tümler açılar = 90°
Bütünler açılar = 180°
Ters açılar = Eş
Yöndeş açılar = Paralel doğrularda eş
İç ters açılar = Paralel doğrularda eş
Dış ters açılar = Paralel doğrularda eş
Açıortay = Açıyı iki eş açıya böler
Komşu bütünler açılar = 180°
Doğrular ve Açılar İçin Akılda Kalıcı Şema
DOĞRULAR VE AÇILAR
│
┌──────────────┴──────────────┐
│ │
DOĞRULAR AÇILAR
│ │
┌──────┼──────┐ ┌──────┼──────┐
│ │ │ │ │ │
Doğru Işın Doğru Dar Dik Geniş
parçası
│
┌───────┴────────┐
│ │
Doğru Tam
180° 360°
PARALEL DOĞRULAR
│
KESEN
│
┌─────────────────┼─────────────────┐
│ │ │
Yöndeş İç ters Dış ters
│ │ │
Eşit Eşit Eşit
Sonuç
7. sınıf doğrular ve açılar konusunda başarılı olmak için önce doğru, doğru parçası, ışın ve açı kavramlarını birbirinden ayırmak gerekir. Daha sonra açı çeşitleri, açıortay, tümler ve bütünler açılar öğrenilmelidir.
Konunun en önemli bölümünde ise paralel iki doğru ve bir kesen arasındaki açı ilişkileri bulunur. Yöndeş, iç ters ve dış ters açıları tanımayı öğrendiğinde birçok açı sorusunu çok daha hızlı çözebilirsin.
Şekli gör → İlişkiyi bul → Açıyı belirle → İşlemi yap → Sonucu kontrol et
Doğrular ve açılar sorularında en önemli nokta, yalnızca işlemi yapmak değil, açıların şekil üzerindeki konumlarını doğru okumaktır.
Bu konuyu çalışırken özellikle açıortay, yöndeş açılar, ters açılar, iç ters açılar, dış ters açılar, tümler açılar ve bütünler açılar arasındaki farkları tekrar etmek sınavlarda büyük avantaj sağlar.