Bir şeklin kapladığı yüzey miktarına alan denir.
Örneğin masanın üzerinin, bir odanın zemininin, bir kitabın kapağının veya bir bahçenin kapladığı yerin ne kadar olduğunu bulmak için alan ölçme işlemi yaparız.
Alanı ölçerken kare birimlerden yararlanırız.
Bu konuda:
- Alanın ne olduğunu,
- Kare ve dikdörtgenin alanını,
- Alan ölçme birimlerini,
- Birim dönüşümlerini,
- Üçgen ve diğer şekillerin alanını,
- Günlük hayattaki alan problemlerini
öğreneceğiz.
Alan Nedir?
Bir şeklin düzlemde kapladığı bölgeye alan denir.
Örneğin bir dikdörtgeni küçük karelere ayıralım:
┌───┬───┬───┬───┬───┐
│ │ │ │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┤
│ │ │ │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┤
│ │ │ │ │ │
└───┴───┴───┴───┴───┘
Burada 5 sütun ve 3 satır vardır.
Toplam küçük kare sayısı:
5 × 3 = 15
olur.
Demek ki bu dikdörtgenin alanı:
15 kare birim
dir.
⭐ Alan, bir şeklin içine kaç tane birim kare sığdığını düşünerek de bulunabilir.
Alanın Birimi Nedir?
Alan ölçerken kullandığımız temel birim:
metrekare (m²)
dir.
Bunun yanında:
- cm² → santimetrekare
- dm² → desimetrekare
- mm² → milimetrekare
- km² → kilometrekare
gibi birimler de kullanılır.
Buradaki ², ölçünün iki boyutlu olduğunu gösterir.
Örneğin:
1 cm²
demek, kenar uzunluğu 1 cm olan bir karenin alanı demektir.
1 cm
┌────────┐
│ │
1cm│ │
│ │
└────────┘
Alan = 1 cm²
Kare Birimlerle Alanı Bulma
Bir şekli birim karelere ayırarak alanını bulabiliriz.
Örneğin:
┌───┬───┬───┬───┐
│ ■ │ ■ │ ■ │ ■ │
├───┼───┼───┼───┤
│ ■ │ ■ │ ■ │ ■ │
├───┼───┼───┼───┤
│ ■ │ ■ │ ■ │ ■ │
└───┴───┴───┴───┘
Burada:
4 sütun × 3 satır = 12 kare
vardır.
Alan:
12 birim²
olur.
Karenin Alanı
Karenin bütün kenarları eşittir.
Bir karenin alanını bulmak için:
Alan = Kenar × Kenar
formülünü kullanırız.
Örnek
Kenar uzunluğu 5 cm olan karenin alanı:
5 × 5 = 25
olur.
Sonuç:
25 cm²
5 cm
┌──────────┐
│ │
5cm│ │
│ │
└──────────┘
Alan = 5 × 5
= 25 cm²
Dikdörtgenin Alanı
Dikdörtgenin alanını bulmak için:
Alan = Uzun kenar × Kısa kenar
formülünü kullanırız.
Örnek
Uzun kenarı 8 cm, kısa kenarı 3 cm olan dikdörtgenin alanı:
8 × 3 = 24
olur.
Sonuç:
24 cm²
8 cm
┌──────────────────┐
│ │
3cm│ │
│ │
└──────────────────┘
Alan = 8 × 3
= 24 cm²
Alan ile Çevreyi Karıştırma!
Bu konu çok önemlidir.
Çevre, şeklin kenarlarının toplam uzunluğudur.
Alan, şeklin kapladığı yüzeydir.
Örneğin 6 cm × 4 cm boyutlarında bir dikdörtgen düşünelim.
Alan:
6 × 4 = 24 cm²
Çevre:
6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm
Yani:
Alan = 24 cm²
Çevre = 20 cm
Birimlerin farklı olduğuna da dikkat et:
Çevre → cm
Alan → cm²
Alan Ölçme Birimleri
Alan birimleri arasında dönüşüm yaparken uzunluk ölçülerinden farklı olarak 100’lük değişimler kullanılır.
Sıralama:
km² → hm² → dam² → m² → dm² → cm² → mm²
Bir basamak sağa giderken:
100 ile çarparız.
Bir basamak sola giderken:
100’e böleriz.
Alan Birimlerinde Dönüşüm
Örneğin:
1 m² = 100 dm²
Çünkü:
1 m = 10 dm
olduğu için iki boyutta:
10 × 10 = 100
elde edilir.
Benzer şekilde:
1 m² = 10 000 cm²
dir.
Çünkü:
1 m = 100 cm
ve:
100 × 100 = 10 000
olur.
Çok Önemli Dönüşüm Tablosu
| Birim | Karşılığı |
| 1 m² | 100 dm² |
| 1 m² | 10 000 cm² |
| 1 dm² | 100 cm² |
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 km² | 1 000 000 m² |
⭐ Alan birimlerinde bir basamak = 100 kat değişim olduğunu unutma.
m²’yi cm²’ye Çevirelim
Örnek
3 m² kaç cm²dir?
Biliyoruz:
1 m² = 10 000 cm²
O hâlde:
3 × 10 000 = 30 000
Sonuç:
3 m² = 30 000 cm²
cm²’yi m²’ye Çevirelim
Örnek
20 000 cm² kaç m²dir?
1 m² = 10 000 cm²
Bu nedenle:
20 000 ÷ 10 000 = 2
Sonuç:
20 000 cm² = 2 m²
Alanı Birim Karelerle Düşünelim
Bir dikdörtgenin:
4 cm × 3 cm
olduğunu düşünelim.
Her küçük karenin:
1 cm²
olduğunu varsayarsak:
┌────┬────┬────┬────┐
│ 1 │ 1 │ 1 │ 1 │
├────┼────┼────┼────┤
│ 1 │ 1 │ 1 │ 1 │
├────┼────┼────┼────┤
│ 1 │ 1 │ 1 │ 1 │
└────┴────┴────┴────┘
Toplam:
12 kare
vardır.
Bu nedenle:
Alan = 12 cm²
Üçgenin Alanı
Bir üçgenin alanını bulmak için:
Alan = Taban × Yükseklik ÷ 2
formülünü kullanırız.
A
/\
/ \
/ │ \
/ │ \
/ │ \
B─────┼────C
↑
yükseklik
← taban →
Örnek
Tabanı 8 cm, yüksekliği 5 cm olan üçgenin alanı:
8 × 5 = 40
40 ÷ 2 = 20
Sonuç:
20 cm²
Üçgenin Yüksekliği Nedir?
Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.
A
│\
│ \
│ \
│ \
│ \
B─────C
Buradaki dik çizgi üçgenin yüksekliğini gösterir.
Dikkat: Yükseklik, seçtiğimiz tabana dik olmalıdır.
Paralelkenarın Alanı
Paralelkenarın alanı:
Alan = Taban × Yükseklik
şeklinde bulunur.
┌───────────┐
/│ /
/ │ /
/ │ /
└───┴───────┘
↑
yükseklik
Örnek
Taban:
10 cm
Yükseklik:
4 cm
ise:
10 × 4 = 40 cm²
olur.
Alan Ölçmede Birimlerin Önemi
Bir alan problemini çözerken önce ölçü birimlerine bakmalıyız.
Örneğin:
Bir dikdörtgenin uzun kenarı 2 m, kısa kenarı 50 cm olsun.
Doğrudan:
2 × 50
yapmak doğru değildir.
Önce birimleri eşitlemeliyiz.
2 m = 200 cm
Şimdi:
200 × 50 = 10 000 cm²
Sonuç:
10 000 cm²
veya:
1 m²
dir.
Günlük Hayattan Alan Örnekleri
Alan ölçme hayatımızın birçok yerinde karşımıza çıkar.
🏠 Oda
Bir odanın zemini kaç metrekare?
🌳 Bahçe
Bir bahçenin kapladığı alan ne kadar?
🧱 Fayans
Bir zemini kaplamak için kaç fayans gerekir?
🖼️ Tablo
Bir tablonun yüzeyi ne kadar?
🌾 Tarla
Bir tarlanın büyüklüğü kaç dönüm veya kaç metrekaredir?
Fayans Problemi
Bir odanın zemini:
6 m × 4 m
olsun.
Alan:
6 × 4 = 24 m²
olsun.
Her fayansın alanı:
1 m²
ise:
24 ÷ 1 = 24
fayans gerekir.
Yani zemini tamamen kaplamak için:
24 fayans
gerekir.
Bir Şeklin Alanını Parçalara Ayırarak Bulma
Bazı şekiller doğrudan kare veya dikdörtgen değildir.
Böyle durumlarda şekli daha küçük parçalara ayırabiliriz.
Örneğin:
┌────────────┐
│ │
│ ├──────┐
│ │ │
└────────────┘ │
│ │
└───────────┘
Bu şekli iki dikdörtgene ayırabiliriz.
Sonra:
1. dikdörtgenin alanı
- ●
2. dikdörtgenin alanı
hesaplanır.
Toplamları şeklin alanını verir.
⭐ Karmaşık şekli parçalara ayırmak alan hesaplamayı kolaylaştırır.
Alan ve Ölçü Birimlerini Karşılaştıralım
| Ölçü | Birim |
| Uzunluk | cm, m, km |
| Çevre | cm, m, km |
| Alan | cm², m², km² |
| Hacim | cm³, m³ |
Burada özellikle alan birimlerinin kareli olduğuna dikkat etmeliyiz.
Birlikte Çözelim
Soru 1
Kenar uzunluğu 7 cm olan karenin alanı kaç cm²dir?
7 × 7 = 49
Cevap:
49 cm²
Soru 2
Uzun kenarı 12 cm, kısa kenarı 5 cm olan dikdörtgenin alanı kaçtır?
12 × 5 = 60
Cevap:
60 cm²
Soru 3
Tabanı 10 cm, yüksekliği 6 cm olan üçgenin alanı kaçtır?
10 × 6 = 60
60 ÷ 2 = 30
Cevap:
30 cm²
Soru 4
4 m² kaç cm²dir?
1 m² = 10 000 cm²
4 × 10 000 = 40 000
Cevap:
40 000 cm²
Soru 5
Bir dikdörtgenin alanı 48 cm², kısa kenarı 6 cm’dir.
Uzun kenarı kaç cm’dir?
Alan:
Uzun kenar × Kısa kenar
olduğu için:
48 ÷ 6 = 8
Cevap:
8 cm
Mini Kontrol
Şimdi sıra sende!
1. Kenarı 9 cm olan karenin alanı kaç cm²dir?
2. 10 cm × 7 cm boyutlarındaki dikdörtgenin alanı kaçtır?
3. 12 cm taban ve 5 cm yüksekliğe sahip üçgenin alanı kaç cm²dir?
4. 2 m² kaç cm²dir?
5. 30 000 cm² kaç m²dir?
6. Alanı 72 cm² olan bir dikdörtgenin kısa kenarı 8 cm ise uzun kenarı kaç cm’dir?
7. 1 m² kaç dm²dir?
8. Alanı bulurken neden ölçü birimlerinin aynı olması gerekir?
Cevaplar
1.
9 × 9 = 81 cm²
2.
10 × 7 = 70 cm²
3.
12 × 5 ÷ 2 = 30 cm²
4.
2 × 10 000 = 20 000 cm²
5.
30 000 ÷ 10 000 = 3 m²
6.
72 ÷ 8 = 9 cm
7.
100 dm²
8.
Çarpma işleminin doğru yapılabilmesi ve sonucun doğru birimle ifade edilebilmesi için ölçüler aynı birimde olmalıdır.
Kısaca Öğrenelim
🟦 Kare
Alan = Kenar × Kenar
▭ Dikdörtgen
Alan = Uzun kenar × Kısa kenar
🔺 Üçgen
Alan = Taban × Yükseklik ÷ 2
▱ Paralelkenar
Alan = Taban × Yükseklik
⭐ Alan Birimleri
km² → hm² → dam² → m² → dm² → cm² → mm²
Bir basamak:
×100 veya ÷100
⭐ Unutma!
Alan = Kaplanan yüzey
Çevre = Kenarların toplam uzunluğu
Örneğin 5 cm × 3 cm dikdörtgen:
Alan = 5 × 3 = 15 cm²
Çevre = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm
Yani alan ve çevre aynı şey değildir.
Alan ölçmede en önemli nokta, şeklin hangi yüzeyi kapladığını anlamak ve sonucu mutlaka kare birimle ifade etmektir. Bu mantığı kavradığında kare, dikdörtgen, üçgen ve diğer şekillerin alanlarını bulmak çok daha kolay olacaktır.