BİRİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER 9. Sınıf matematik

BİRİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER NEDİR?

Matematikte iki ifade arasındaki büyüklük ve küçüklük ilişkisini göstermek için eşitsizliklerden yararlanılır. Bilinmeyenin birinci kuvvetini içeren eşitsizlikler, birinci dereceden eşitsizlikler olarak adlandırılır.

Örnekler:

x + 3 > 7
2x – 5 < 9
3x + 2 ≥ 11
4x – 1 ≤ 15

Bu eşitsizliklerde x bilinmeyeni temsil eder. Amaç, eşitsizliği sağlayan x değerlerini bulmaktır.

1. EŞİTSİZLİK İŞARETLERİ

< : Küçüktür

: Büyüktür
≤ : Küçük veya eşittir
≥ : Büyük veya eşittir

Örneğin x > 4 ifadesinde x, 4’ten büyük olmalıdır. Bu nedenle 4 çözüm kümesine dâhil değildir.

x ≥ 4 ifadesinde ise x, 4 veya 4’ten büyük olabilir. Bu nedenle 4 çözüm kümesine dâhildir.

2. BİRİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

Eşitsizlikleri çözerken bilinmeyeni yalnız bırakmaya çalışırız. Bunun için toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinden yararlanırız.

ÖRNEK 1

x + 5 > 12

Her iki taraftan 5 çıkaralım:

x > 12 – 5

SONUÇ: x > 7

ÖRNEK 2

x – 6 ≤ 9

Her iki tarafa 6 ekleyelim:

x ≤ 9 + 6

SONUÇ: x ≤ 15

ÖRNEK 3

3x > 18

Her iki tarafı 3’e bölelim:

x > 18 / 3

SONUÇ: x > 6

Pozitif bir sayıyla bölme yaptığımız için eşitsizlik işareti değişmez.

3. NEGATİF SAYIYLA ÇARPMA VE BÖLME

Bir eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik işareti tersine döner.

Bu, eşitsizliklerin en önemli kurallarından biridir.

ÖRNEK 4

-2x < 10

Her iki tarafı -2’ye bölelim.

Negatif sayıya böldüğümüz için işaret yön değiştirir:

x > -5

SONUÇ: x > -5

ÖRNEK 5

-3x ≥ 12

Her iki tarafı -3’e bölelim:

x ≤ -4

SONUÇ: x ≤ -4

DİKKAT!

Pozitif sayıyla çarpma veya bölmede işaret değişmez.
Negatif sayıyla çarpma veya bölmede işaret tersine döner.

4. BİLİNMEYENİN HER İKİ TARAFTA BULUNDUĞU EŞİTSİZLİKLER

Bazı eşitsizliklerde bilinmeyen hem sol hem de sağ tarafta bulunabilir. Böyle durumlarda benzer terimleri aynı tarafta toplarız.

ÖRNEK 6

3x + 2 < x + 10

Her iki taraftan x çıkaralım:

2x + 2 < 10

Her iki taraftan 2 çıkaralım:

2x < 8

Her iki tarafı 2’ye bölelim:

SONUÇ: x < 4

ÖRNEK 7

5x – 3 ≥ 2x + 9

Her iki taraftan 2x çıkaralım:

3x – 3 ≥ 9

Her iki tarafa 3 ekleyelim:

3x ≥ 12

Her iki tarafı 3’e bölelim:

SONUÇ: x ≥ 4

5. PARANTEZLİ EŞİTSİZLİKLER

Parantezli eşitsizliklerde önce parantez açılır. Ardından benzer terimler bir araya getirilir.

ÖRNEK 8

2(x + 3) > 14

Parantezi açalım:

2x + 6 > 14

Her iki taraftan 6 çıkaralım:

2x > 8

İki tarafı 2’ye bölelim:

SONUÇ: x > 4

ÖRNEK 9

3(x – 2) ≤ 2x + 5

Parantezi açalım:

3x – 6 ≤ 2x + 5

Her iki taraftan 2x çıkaralım:

x – 6 ≤ 5

Her iki tarafa 6 ekleyelim:

SONUÇ: x ≤ 11

6. EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM KÜMESİ

Bir eşitsizliği sağlayan bütün gerçek sayılar, o eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturur.

Örneğin:

x > 2

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, 2’den büyük bütün gerçek sayılardır.

Aralık gösterimi:

(2, ∞)

Burada 2 çözüm kümesine dâhil değildir.

Diğer örnek:

x ≥ 2

Aralık gösterimi:

[2, ∞)

Bu kez 2 çözüm kümesine dâhildir.

Önemli bilgi:

Açık aralık parantezi, sınır değerinin dâhil olmadığını gösterir.
Köşeli parantez, sınır değerinin dâhil olduğunu gösterir.
Sonsuzluk işaretinin yanında her zaman normal parantez kullanılır.

7. SAYI DOĞRUSUNDA EŞİTSİZLİKLER

Eşitsizlikler sayı doğrusu üzerinde de gösterilebilir.

x > 3:
3 noktasında açık daire kullanılır ve 3’ün sağındaki sayılar gösterilir.

x ≥ 3:
3 noktasında dolu daire kullanılır ve 3’ün sağındaki sayılar gösterilir.

x < 3:
3 noktasında açık daire kullanılır ve 3’ün solundaki sayılar gösterilir.

x ≤ 3:
3 noktasında dolu daire kullanılır ve 3’ün solundaki sayılar gösterilir.

Açık daire, sınır değerinin çözüm olmadığını; dolu daire ise çözüm olduğunu gösterir.

8. GÜNLÜK HAYATTA EŞİTSİZLİKLER

Eşitsizlikler alışveriş, bütçe planlama, yaş sınırları ve ölçme işlemleri gibi günlük hayat durumlarında kullanılabilir.

ÖRNEK 10: ALIŞVERİŞ

Bir öğrencinin 120 TL’si vardır. Tanesi 20 TL olan defterlerden alacaktır.

Alabileceği defter sayısı x olsun.

20x ≤ 120

Her iki tarafı 20’ye bölelim:

x ≤ 6

Öğrenci en fazla 6 defter alabilir.

ÖRNEK 11: SINAV PUANI

Bir sınavda başarılı olmak için en az 50 puan almak gerekmektedir.

Öğrencinin puanı x ile gösterilirse:

x ≥ 50

eşitsizliği elde edilir.

50 puan ve üzerindeki puanlar koşulu sağlar.

ÖRNEK 12: YAŞ SINIRI

Bir etkinliğe katılabilmek için 12 yaşından büyük olmak gerekmektedir.

Kişinin yaşı x ile gösterilirse:

x > 12

eşitsizliği elde edilir.

Yaş tam sayı olarak ifade ediliyorsa en küçük uygun yaş 13’tür.

9. SIK YAPILAN HATALAR
10. Negatif sayıyla bölme yaparken eşitsizlik işaretini değiştirmemek.
11. Küçüktür ve küçük veya eşittir işaretlerini karıştırmak.
12. Eşitsizliğin yalnızca bir tarafına işlem uygulamak.
13. Parantezi açarken çarpma işlemini yanlış yapmak.
14. Günlük hayat problemlerinde tam sayı koşulunu gözden kaçırmak.

Bu hatalardan kaçınmak için işlemleri adım adım yapmak ve bulunan sonucu kontrol etmek gerekir.

10. KONU TESTİ

SORU 1

x + 4 > 11 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x > 7
B) x < 7
C) x > 15
D) x < 15

SORU 2

2x ≤ 16 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≥ 8
B) x ≤ 8
C) x > 8
D) x < 6

SORU 3

-3x < 15 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x < -5
B) x > -5
C) x < 5
D) x > 5

SORU 4

4x – 8 ≥ 12 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≥ 5
B) x ≤ 5
C) x ≥ 1
D) x ≤ 1

SORU 5

2x + 3 > x + 9 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x < 6
B) x > 6
C) x < 12
D) x > 12

SORU 6

3(x + 2) ≤ 18 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≤ 4
B) x ≥ 4
C) x < 6
D) x > 6

SORU 7

-2x ≥ 10 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≥ -5
B) x ≤ -5
C) x ≥ 5
D) x ≤ 5

SORU 8

5x – 4 < 21 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x < 5
B) x > 5
C) x < 17
D) x > 17

SORU 9

4x + 1 ≥ 2x + 9 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≤ 4
B) x ≥ 4
C) x < 5
D) x > 5

SORU 10

2(x – 3) > 10 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x > 8
B) x < 8
C) x > 5
D) x < 5

SORU 11

x – 7 ≤ -2 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≤ 5
B) x ≥ 5
C) x ≤ -9
D) x ≥ -9

SORU 12

-5x ≤ 20 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≤ -4
B) x ≥ -4
C) x ≤ 4
D) x ≥ 4

SORU 13

3x – 2 < 2x + 6 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x < 8
B) x > 8
C) x < 4
D) x > 4

SORU 14

7 – x ≥ 3 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≥ 4
B) x ≤ 4
C) x ≥ -4
D) x ≤ -4

SORU 15

2(2x + 1) ≤ 18 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≤ 4
B) x ≥ 4
C) x < 5
D) x > 5

SORU 16

6x – 5 ≥ 4x + 7 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≥ 6
B) x ≤ 6
C) x ≥ 1
D) x ≤ 1

SORU 17

Bir defter 15 TL’dir. 90 TL’si olan bir öğrenci en fazla kaç defter alabilir?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

SORU 18

x/4 + 2 < 5 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x < 12
B) x > 12
C) x < 7
D) x > 7

SORU 19

-4x + 3 > 11 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x > -2
B) x < -2
C) x > 2
D) x < 2

SORU 20

3(2x – 1) ≥ 5x + 4 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?

A) x ≥ 7
B) x ≤ 7
C) x ≥ 1
D) x ≤ 1

CEVAP ANAHTARI

1-A
2-B
3-B
4-A
5-B
6-A
7-B
8-A
9-B
10-A
11-A
12-B
13-A
14-B
15-A
16-A
17-C
18-A
19-B
20-A

KONU SONUCU

Birinci dereceden eşitsizlikleri çözerken bilinmeyeni yalnız bırakmak, işlemleri iki tarafa da uygulamak ve negatif sayıyla çarpma veya bölme yapıldığında işaretin yön değiştirdiğini hatırlamak gerekir.

Bu kurallar öğrenildiğinde birinci dereceden eşitsizlikler daha kolay çözülebilir.