Çarpanlar ve katlar, sayıların birbirleriyle olan ilişkisini anlamamıza yardımcı olan temel matematik konularından biridir. Bir sayının hangi sayılara kalansız bölündüğünü, hangi sayıların o sayıyı oluşturduğunu ve sayıların nasıl devam ettiğini öğrenmek için çarpan ve kat kavramlarını bilmemiz gerekir.
Bu konuda çarpan, kat, ortak çarpan, ortak kat ve asal sayılar üzerinde duracağız.
Çarpan Nedir?
Bir doğal sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanları denir.
Örneğin 12 sayısını ele alalım.
12’yi kalansız bölen sayılar:
1, 2, 3, 4, 6 ve 12
olduğu için 12’nin çarpanları bunlardır.
12’nin Çarpan Çiftleri
Bir sayının çarpanlarını bulurken çarpma işlemlerinden de yararlanabiliriz.
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
Buradaki sayıların tamamı 12’nin çarpanıdır.
Akılda Tut: Bir çarpma işleminde sonuç bir sayıysa, çarpımda kullanılan sayıların her biri bu sonucun çarpanıdır.
Çarpanları Bulmanın Pratik Yolu
Bir sayının çarpanlarını bulmak için o sayıyı sırayla doğal sayılara bölebiliriz.
Örneğin 18’in çarpanlarını bulalım:
- 18 ÷ 1 = 18
- 18 ÷ 2 = 9
- 18 ÷ 3 = 6
- 18 ÷ 6 = 3
- 18 ÷ 9 = 2
- 18 ÷ 18 = 1
Buna göre:
18’in çarpanları → 1, 2, 3, 6, 9, 18
Çarpan çiftleriyle de gösterebiliriz:
1 × 18 = 18
2 × 9 = 18
3 × 6 = 18
Önemli Bilgi
Bir doğal sayının 1 ve kendisi her zaman çarpanıdır.
Örneğin:
- 8’in çarpanları → 1, 2, 4, 8
- 15’in çarpanları → 1, 3, 5, 15
- 20’nin çarpanları → 1, 2, 4, 5, 10, 20
Kat Nedir?
Bir doğal sayının 1, 2, 3, 4, … gibi doğal sayılarla çarpılması sonucunda elde edilen sayılara o sayının katları denir.
Örneğin 5’in katlarını bulalım:
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
Buna göre 5’in katları:
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
şeklinde devam eder.
5’in Katlarını Görsel Olarak Düşünelim
5 → 10 → 15 → 20 → 25 → 30 → …
Her adımda 5 eklenmektedir.
Önemli: Bir doğal sayının katları sonsuz tane olabilir.
Örneğin 7’nin katları:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, …
şeklinde devam eder.
Çarpan ve Kat Arasındaki Fark
Çarpan ve kat kavramlarını birbirine karıştırmamak gerekir.
| Çarpan | Kat |
| Bir sayıyı kalansız böler. | Bir sayının çarpılmasıyla elde edilir. |
| Belirli bir sayı için sınırlıdır. | Sonsuza kadar devam eder. |
| 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 12’nin katları: 12, 24, 36, 48, … |
Kısaca:
Çarpan → Böler
Kat → Çarpılarak oluşur
Örneğin:
4 × 6 = 24
Burada 4 ve 6, 24’ün çarpanlarıdır.
Aynı zamanda 24, 4’ün ve 6’nın katıdır.
Çarpan ile Kat Arasındaki İlişki
Bir çarpma işlemini incelediğimizde çarpan ve kat arasındaki ilişkiyi daha kolay görebiliriz.
Örnek:
3 × 8 = 24
Bu işlemde:
- 3, 24’ün çarpanıdır.
- 8, 24’ün çarpanıdır.
- 24, 3’ün katıdır.
- 24, 8’in katıdır.
Bu nedenle çarpan ve kat kavramlarını öğrenirken çarpma işlemini iyi anlamak önemlidir.
Bir Sayının Katlarını Bulma
Bir sayının katlarını bulmak için o sayıyı sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5… ile çarparız.
Örneğin 9’un ilk 8 katını bulalım:
| İşlem | Sonuç |
| 9 × 1 | 9 |
| 9 × 2 | 18 |
| 9 × 3 | 27 |
| 9 × 4 | 36 |
| 9 × 5 | 45 |
| 9 × 6 | 54 |
| 9 × 7 | 63 |
| 9 × 8 | 72 |
9’un ilk 8 katı:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
Ortak Çarpan Nedir?
İki veya daha fazla sayının çarpanları arasında ortak olarak bulunan sayılara ortak çarpan denir.
Örneğin 12 ve 18’in çarpanlarını inceleyelim.
12’nin çarpanları:
1, 2, 3, 4, 6, 12
18’in çarpanları:
1, 2, 3, 6, 9, 18
İki listede de bulunan sayılar:
1, 2, 3 ve 6
olduğuna göre 12 ve 18’in ortak çarpanları:
1, 2, 3, 6
olur.
Ortak Çarpanları Tabloyla Görelim
| 12’nin çarpanları | 18’in çarpanları |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 6 |
| 6 | 9 |
| 12 | 18 |
Ortak olanlar: 1, 2, 3 ve 6
Ortak Kat Nedir?
İki veya daha fazla sayının katları arasında ortak olarak bulunan sayılara ortak kat denir.
Örneğin 4 ve 6’nın katlarını yazalım.
4’ün katları:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …
6’nın katları:
6, 12, 18, 24, 30, 36, …
İki listede ortak bulunan sayılar:
12, 24, 36, …
olur.
Bunlar 4 ve 6’nın ortak katlarıdır.
Dikkat: Ortak katlar devam eder. Bu nedenle birden fazla ortak kat bulunabilir.
Çarpan Çiftleri
Bir sayıyı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazdığımızda elde ettiğimiz ikililere çarpan çifti denir.
Örneğin 24 sayısının çarpan çiftleri:
1 × 24 = 24
2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
4 × 6 = 24
Bu işlemlerden 24’ün çarpanlarını kolayca bulabiliriz.
24’ün Çarpanları
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24
Çarpan çiftlerini kullanmak, özellikle büyük sayıların çarpanlarını bulurken işimizi kolaylaştırır.
Asal Sayılar
Çarpanlar konusunu öğrenirken asal sayıları da bilmek gerekir.
1’den büyük ve yalnızca 1 ile kendisine bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir.
Örneğin:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
asal sayılardan bazılarıdır.
Örnek: 7
7’nin çarpanları:
1 ve 7
olduğu için 7 asal sayıdır.
Dikkat!
1 asal sayı değildir.
Çünkü asal sayıların tam olarak iki farklı pozitif çarpanı bulunmalıdır.
1’in ise yalnızca bir pozitif çarpanı vardır.
Çarpanlar ve Katlar Günlük Hayatta Nerede Kullanılır?
Çarpanlar ve katlar günlük yaşamda düşündüğümüzden daha fazla karşımıza çıkar.
Örneğin bir öğretmenin sınıftaki 24 öğrenciyi eşit gruplara ayırmak istediğini düşünelim.
24 öğrenci;
- 2’şerli,
- 3’erli,
- 4’erli,
- 6’şarlı,
- 8’erli,
- 12’şerli
gruplara ayrılabilir.
Çünkü bu sayıların her biri 24’ün çarpanıdır.
Aynı şekilde belirli aralıklarla tekrarlanan olaylarda da katlardan yararlanabiliriz.
Örneğin bir zil 5 dakikada bir çalıyorsa çalacağı dakikalar:
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
şeklinde ilerler.
Bunlar 5’in katlarıdır.
Örnek Soru
36 sayısının çarpanları hangileridir?
Öncelikle çarpan çiftlerini bulalım:
1 × 36 = 36
2 × 18 = 36
3 × 12 = 36
4 × 9 = 36
6 × 6 = 36
Buradan 36’nın çarpanlarını sıralayalım:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36
Cevap:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Mini Kontrol
Aşağıdaki soruları kendin çözmeyi dene.
1. 20’nin çarpanları nelerdir?
2. 6’nın ilk 6 katı nedir?
3. 12 ve 18’in ortak çarpanları nelerdir?
4. 4 ve 6’nın ilk üç ortak katı nedir?
5. 13 asal sayı mıdır?
Cevaplar
1. 1, 2, 4, 5, 10, 20
2. 6, 12, 18, 24, 30, 36
3. 1, 2, 3, 6
4. 12, 24, 36
5. Evet. Çünkü 13 yalnızca 1 ve 13’e kalansız bölünür.
Kısaca Öğrenelim
Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen sayıdır.
Kat: Bir sayının doğal sayılarla çarpılması sonucunda elde edilen sayıdır.
Ortak çarpan: İki veya daha fazla sayının ortak çarpanıdır.
Ortak kat: İki veya daha fazla sayının ortak katıdır.
Çarpan çifti: Bir sayıyı veren iki sayının çarpımıdır.
Asal sayı: 1’den büyük ve yalnızca 1 ile kendisine bölünebilen doğal sayıdır.
Akılda Kalması İçin
ÇARPAN → BÖLER
KAT → ÇARPILARAK OLUŞUR
Örneğin:
4 × 6 = 24
4 ve 6 → 24’ün çarpanları
24 → 4’ün ve 6’nın katı
Çarpanlar ve katlar arasındaki bu ilişkiyi kavradığımızda konu çok daha kolay hale gelir.