Cisimlerin farklı yönlerden görünümleri, üç boyutlu geometrik cisimlere farklı yönlerden baktığımızda nasıl göründüklerini anlamamızı sağlayan önemli bir matematik konusudur. Bir cismin önden, yandan veya üstten görünüşü birbirinden farklı olabilir.
Bu konuda amaç, üç boyutlu bir cismin kendisini gördüğümüzde ön görünüşünü, yan görünüşünü ve üst görünüşünü doğru şekilde belirleyebilmektir. Ayrıca verilen farklı görünümlerden yararlanarak cismin nasıl bir yapıya sahip olduğunu zihnimizde canlandırabiliriz.
Bu konuda öğreneceklerimiz:
- Üç boyutlu cisim nedir?
- Önden görünüş nedir?
- Yandan görünüş nedir?
- Üstten görünüş nedir?
- Bir cismin farklı yönlerden görünüşlerini çizme
- Birim küplerle oluşturulan cisimlerin görünümleri
- Görünüşleri verilen cismin yapısını belirleme
- Görünüşlerde yükseklik ve genişliği doğru yorumlama
- Çözümlü örnekler
- Yeni nesil sorularda görünüş yorumlama
1. Üç Boyutlu Cisim Nedir?
Uzunluk, genişlik ve yükseklik olmak üzere üç boyutu bulunan geometrik şekillere üç boyutlu cisim denir.
Örneğin küp, dikdörtgenler prizması, silindir, koni ve küre üç boyutlu cisimlerdir.
●────────●
/│ /│
/ │ / │
●────────● │
│ │ │ │
│ ●─────│──●
│ / │ /
│/ │/
●────────● ÜÇ BOYUTLU CİSİM
Uzunluk
Genişlik
Yükseklik
Bir cisme baktığımızda aslında aynı anda onun bütün yüzlerini göremeyebiliriz. Bakış yönümüz değiştiğinde cismin gördüğümüz yüzleri de değişir.
2. Cisimlere Farklı Yönlerden Bakmak
Bir kutuyu masanın üzerine koyduğumuzu düşünelim. Kutunun önünde durduğumuzda bir görüntü, sağ tarafına geçtiğimizde başka bir görüntü, üzerine çıktığımızda ise başka bir görüntü elde ederiz.
ÜSTTEN
↓
┌─────────┐
│ │
│ KUTU │
│ │
└─────────┘
↑
BAKIŞÖNDEN → ┌─────────┐
YANDAN → ┌────┐
│ │
│ │
└────┘
Bu nedenle bir cismin görünüşünü tarif ederken hangi yönden baktığımızı belirtmek gerekir.
3. Önden Görünüş Nedir?
Bir cisme tam karşısından baktığımızda elde ettiğimiz görüntüye önden görünüş denir.
Önden görünüşte cismin bize bakan yüzünün genişliği ve yüksekliği önemlidir. Cismin derinliği önden görünüşte doğrudan görülmez.
CİSİM
┌──────────────┐
│ │
│ │
│ │
└──────────────┘
↑
│
ÖNDEN
BAKIŞ
ÖN GÖRÜNÜŞ
┌──────────────┐
│ │
│ │
│ │
└──────────────┘
4. Yandan Görünüş Nedir?
Bir cisme sağından veya solundan baktığımızda elde edilen görüntüye yandan görünüş denir.
Yandan görünüşte cismin derinliği ve yüksekliği hakkında bilgi elde ederiz.
CİSİM
┌──────────┐
│ │
│ │
│ │
└──────────┘
←
YANDAN
BAKIŞ YAN GÖRÜNÜŞ
┌──────┐
│ │
│ │
│ │
└──────┘
5. Üstten Görünüş Nedir?
Bir cismin tam üzerinden baktığımızda elde edilen görüntüye üstten görünüş denir.
Üstten görünüşte cismin uzunluğu ve derinliği hakkında bilgi elde ederiz.
↓
ÜSTTEN BAKIŞ
┌──────────────┐
│ │
│ │
│ │
│ │
└──────────────┘
ÜST GÖRÜNÜŞ
6. Üç Temel Görünüşü Birlikte Öğrenelim
Bir cismin farklı yönlerden görünüşlerini incelerken üç temel görünüş üzerinde dururuz:
Ön görünüş: Önden baktığımızda gördüğümüz şekildir.
Yan görünüş: Sağdan veya soldan baktığımızda gördüğümüz şekildir.
Üst görünüş: Yukarıdan baktığımızda gördüğümüz şekildir.
ÜST
↓
┌────────┐
│ │
│ │
└────────┘ÖN → ┌──────────┐
│ │
│ │
└──────────┘YAN → ┌──────┐
│ │
│ │
└──────┘
7. Birim Küplerle Oluşturulan Cisimler
Cisimlerin farklı yönlerden görünümlerini anlamanın en kolay yollarından biri birim küpler kullanmaktır.
Aynı büyüklükteki küçük küpler bir araya getirilerek daha büyük ve karmaşık cisimler oluşturulabilir.
┌───┬───┐
│ │ │
├───┼───┤
│ │ │
└───┴───┘ 4 BİRİM KÜP
Ancak küpleri üst üste koyduğumuzda cismin farklı yönlerden görünüşü değişir.
■
■ ■
■ ■ ■KÜPLERİN YIĞILIŞI
Burada her sütundaki küp sayısı, cismin yüksekliği hakkında bilgi verir.
8. Birim Küplerle Yükseklik Bulma
Bir cismin yapısında küpler üst üste konulmuşsa, aynı noktadaki küplerin sayısı o bölümün yüksekliğini gösterir.
■
■
■ ■
■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■ 2 4 6
KÜP SAYILARI
Örneğin bir sütunda 3 küp varsa o bölümün yüksekliği 3 birimdir.
9. Ön Görünüşte Neye Dikkat Edilir?
Ön görünüşü bulurken cismin tam karşısına geçtiğimizi düşünmeliyiz.
■
■
■ ■
■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■ ↑
│
ÖNDEN BAKIŞ
Önden bakıldığında derinlikte arka arkaya bulunan bazı küpler görünmeyebilir. Bu nedenle sadece önden gördüğümüz yükseklik ve genişlik düzenini dikkate alırız.
10. Üst Görünüşte Neye Dikkat Edilir?
Üst görünüşü bulmak için cismin tam üzerine çıktığımızı düşünmeliyiz.
ÜSTTEN BAKIŞ ■ ■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■
■ = Küpün
üst yüzeyi
Üstten bakıldığında aynı sütunda üst üste bulunan küplerin yalnızca en üstteki yüzü görülür. Bu nedenle üst görünüşte yükseklik değil, cismin zemindeki kapladığı alan önemlidir.
11. Yandan Görünüşte Neye Dikkat Edilir?
Yandan görünüşte cismin sağ veya sol tarafına geçtiğimizi düşünürüz.
■
■
■ ■
■ ■
■ ■
↑
│
YANDAN BAKIŞ
Yandan görünüşte cismin yüksekliği ve derinliği ön plana çıkar.
12. Çok Önemli: Görünüşleri Karıştırma!
Ön görünüş:
Genişlik + yükseklik
Yan görünüş:
Derinlik + yükseklik
Üst görünüş:
Genişlik + derinlik
YÜKSEKLİK
↑
│
ÖN │ YAN
Genişlik │ Derinlik
────────┼────────
│
│
ÜST GÖRÜNÜŞ
Genişlik
+
Derinlik
13. Basit Bir Cismi İnceleyelim
Aşağıdaki gibi basamaklı bir cisim düşünelim:
■
■
■ ■
■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■
Bu cisme farklı yönlerden baktığımızda farklı şekiller ortaya çıkabilir.
Önden Görünüş
■
■
■ ■
■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■
Üstten Görünüş
■ ■ ■
■ ■ ■
Burada küplerin yükseklikleri üstten görünüşte doğrudan anlaşılmaz. Çünkü üstten baktığımızda yalnızca en üstteki yüzeyleri görürüz.
14. Görünüşlerden Cisim Oluşturma
Bazen soru bize cismin kendisini vermek yerine ön, yan ve üst görünümlerini verir. Bizden bu bilgilerden yararlanarak cismin yapısını bulmamız istenir.
ÖN YAN ÜST ■■■ ■■ ■■■
■■■ ■■ ■■■
■■ ■ ■■
■■ ■ ■■
↓
CİSMİ ZİHNİNDE
OLUŞTUR
Bu tür sorularda acele etmemek gerekir. Her görünüşün hangi ölçüleri verdiğini ayrı ayrı düşünmeliyiz.
15. Görünüş Sorularını Çözme Yöntemi
1. Adım: Cismin kaç boyutlu olduğunu belirle.
2. Adım: Bakış yönünü belirle.
3. Adım: Görünüşte hangi boyutların kullanılacağını düşün.
4. Adım: Küplerin veya yüzlerin konumlarını belirle.
5. Adım: Görünmeyen kısımları görünüşe ekleme.
6. Adım: Ön, yan ve üst görünüşlerin birbiriyle uyumlu olup olmadığını kontrol et.
16. Çözümlü Örnek 1
Bir küpün ön görünüşü nasıl olur?
■
Bir küpü tam karşıdan gördüğümüzde ön yüzü kare şeklindedir.
┌──────┐
│ │
│ │
│ │
└──────┘
Cevap: Kare.
17. Çözümlü Örnek 2
Bir dikdörtgenler prizmasına tam karşıdan baktığımızda ön yüzü dikdörtgen ise ön görünüş nasıl olur?
┌────────────┐
│ │
│ │
└────────────┘
Önden bakışta cismin bize bakan yüzünün şekli görülür.
Cevap: Dikdörtgen.
18. Çözümlü Örnek 3
Üç birim küp üst üste konulmuştur. Önden bakıldığında nasıl görünür?
■
■
■
Üç küp üst üste olduğu için önden görünüşte yükseklik 3 birimdir.
Cevap: 3 birim yüksekliğinde bir dikdörtgen görünümü.
19. Çözümlü Örnek 4
İki küp yan yana konulmuştur. Önden görünüş nasıl olur?
■ ■
Önden bakıldığında iki kare yan yana görülür.
┌───┬───┐
│ │ │
└───┴───┘
Cevap: Yan yana iki kareden oluşan görünüş.
20. Çözümlü Örnek 5: Üstten Görünüş
Dört küp 2 × 2 şeklinde zemine yerleştirilmiştir.
■ ■
■ ■
Üstten baktığımızda dört küpün üst yüzünü görürüz.
┌───┬───┐
│ │ │
├───┼───┤
│ │ │
└───┴───┘
Cevap: 2 × 2 kare düzeni.
21. Çözümlü Örnek 6: Basamaklı Cisim
Bir cismin birinci bölümünde 1 küp, ikinci bölümünde 2 küp, üçüncü bölümünde 3 küp olduğunu düşünelim.
■
■ ■
■ ■ ■
Bu cismin ön görünüşünde yükseklikler sırasıyla 1, 2 ve 3 birim olarak görülür.
■
■ ■
■ ■ ■
1 2 3
22. Görünmeyen Küpler
Bu konuda en çok dikkat edilmesi gereken noktalardan biri, bazı küplerin başka küplerin arkasında kalabilmesidir.
ÖNDEN:■ ■■ ■
■ ■ Arkada bulunan küpler
önden doğrudan görünmeyebilir.
Bir cismin görünüşünü çizerken görüş yönünü değiştirmemek gerekir.
23. Görünüş Çizerken En Önemli Kural
Hangi yönden bakıyorsan, sadece o yönden görülen şekli çiz!
Örneğin üstten görünüş isteniyorsa cismin yan taraflarını çizmeye çalışmak yanlış olur.
24. Ön, Yan ve Üst Görünüş Karşılaştırması
| Görünüş | Bakış Yönü | Görülen Boyutlar |
|---|---|---|
| Ön | Karşıdan | Genişlik + Yükseklik |
| Yan | Sağdan/Soldan | Derinlik + Yükseklik |
| Üst | Yukarıdan | Genişlik + Derinlik |
25. Günlük Hayatta Cisimlerin Farklı Görünümleri
Bu konu sadece matematik dersinde karşımıza çıkmaz. Günlük yaşamda da bir cismin farklı yönlerden görünüşlerini sürekli kullanırız.
- Bir evin mimari planında
- Mobilya tasarımında
- Araba tasarımlarında
- Bina çizimlerinde
- Ürün tasarımlarında
- Teknik çizimlerde
- Bilgisayar destekli tasarım çalışmalarında
- Harita ve plan çalışmalarında
Örneğin bir masa tasarlanırken masanın önden, yandan ve üstten görünüşleri ayrı ayrı çizilebilir.
MASA TASARIMI ÖN YAN ÜST
┌───────┐ ┌───┐ ┌────────┐
│ │ │ │ │ │
└───────┘ └───┘ │ │
│ │ │ │ └────────┘
│ │ │ │
26. Yeni Nesil Sorularda Taktik
Yeni nesil sorularda cisimler daha karmaşık olabilir. Birçok öğrenci cismin tamamına bakıp görünüşü doğrudan tahmin etmeye çalışır. Bunun yerine küçük parçalara ayırmak daha kolaydır.
1. Cismi birim küplerden oluşuyormuş gibi düşün.
2. Her bölgedeki küp sayısını belirle.
3. Hangi yönden bakıldığını bul.
4. O yönde görünen yükseklikleri ve genişlikleri belirle.
5. Üst görünüşte zemindeki yerleşime dikkat et.
6. Son olarak görünüşün cismin yapısıyla uyumlu olup olmadığını kontrol et.
27. Sık Yapılan Hatalar
Hata 1: Üstten görünüşte yüksekliği göstermeye çalışmak
Üstten görünüşte cismin zemindeki yerleşimi önemlidir. Üst üste duran küplerin yalnızca üst yüzleri görülür.
Hata 2: Ön görünüş ile yan görünüşü karıştırmak
Önden bakışta genişlik ve yükseklik; yandan bakışta derinlik ve yükseklik dikkate alınır.
Hata 3: Görünmeyen yüzleri çizmek
İstenen görünüş hangi yöndense o yönde görülen şekle odaklanmalıyız.
Hata 4: Küp sayısını yanlış saymak
Özellikle üst üste duran küplerde görünmeyen küpleri de hesaba katmalıyız.
Hata 5: Perspektif çizimi görünüş çizimi sanmak
Üç boyutlu çizim ile ön, yan ve üst görünüş aynı şey değildir.
28. Kendini Dene
Soru 1
Bir cisme tam karşıdan bakıldığında elde edilen görünüşe ne denir?
A) Üst görünüş
B) Ön görünüş
C) Alt görünüş
D) Arka görünüş
Cevap: B
Soru 2
Bir cisme yukarıdan bakıldığında hangi görünüş elde edilir?
A) Ön
B) Yan
C) Üst
D) Alt
Cevap: C
Soru 3
Ön görünüşte temel olarak hangi iki boyut dikkate alınır?
A) Genişlik ve yükseklik
B) Genişlik ve derinlik
C) Derinlik ve yükseklik
D) Sadece yükseklik
Cevap: A
Soru 4
Üst görünüşte hangi iki boyut daha belirgindir?
A) Yükseklik ve derinlik
B) Genişlik ve derinlik
C) Yükseklik ve genişlik
D) Sadece yükseklik
Cevap: B
Soru 5
Üç küp üst üste konulmuştur. Önden bakıldığında cismin yüksekliği kaç birim olur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
Cevap: C
Soru 6
İki küp yan yana konulduğunda üstten bakışta kaç küpün üst yüzü görülür?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Cevap: B
29. Mini Test
1.
Bir cismin sağından bakıldığında elde edilen görünüş aşağıdakilerden hangisidir?
A) Ön görünüş
B) Üst görünüş
C) Yan görünüş
D) Alt görünüş
2.
Bir cismin tam üzerinden bakıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) Üst görünüş
B) Ön görünüş
C) Yan görünüş
D) Arka görünüş
3.
Ön görünüşte aşağıdakilerden hangisi dikkate alınır?
A) Genişlik ve yükseklik
B) Derinlik ve genişlik
C) Sadece derinlik
D) Sadece yükseklik
4.
Üst görünüşte üst üste duran küplerin hangisi doğrudan görülür?
A) En alttaki küp
B) Ortadaki küp
C) En üstteki küpün üst yüzü
D) Hiçbiri
5.
Bir cisim 4 küpten oluşuyor. Küplerin 2 tanesi üst üste, diğer 2 tanesi de onların yanında üst üste duruyor. En yüksek sütunun yüksekliği kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
6.
Bir cismin farklı yönlerden görünüşlerini belirlemek için aşağıdakilerden hangisi en önemlidir?
A) Cismin rengi
B) Cismin hangi yönden görüldüğü
C) Cismin adı
D) Cismin ağırlığı
Mini Test Cevap Anahtarı
1-C | 2-A | 3-A | 4-C | 5-B | 6-B
30. Sınav Öncesi Hızlı Tekrar
Ön görünüş: Cisme karşıdan bakış.
Yan görünüş: Cisme sağdan veya soldan bakış.
Üst görünüş: Cisme yukarıdan bakış.
Ön görünüş: Genişlik + yükseklik.
Yan görünüş: Derinlik + yükseklik.
Üst görünüş: Genişlik + derinlik.
Birim küp: Cisimleri oluşturan eş büyüklükteki küçük küpler.
En önemli kural: Görünüşü belirlerken bakış yönünü değiştirmemek.
31. Akılda Kalması İçin Görsel Özet
CİSİM
│
┌──────────────┼──────────────┐
│ │ │
↓ ↓ ↓
ÖNDEN YANDAN ÜSTTEN
BAK BAK BAK
│ │ │
↓ ↓ ↓
ÖN GÖRÜNÜŞ YAN GÖRÜNÜŞ ÜST GÖRÜNÜŞ
│ │ │
↓ ↓ ↓
GENİŞLİK + DERİNLİK + GENİŞLİK +
YÜKSEKLİK YÜKSEKLİK DERİNLİK
Sonuç
Cisimlerin farklı yönlerden görünümleri konusunda başarılı olmak için üç temel görünüşü iyi bilmek gerekir: ön görünüş, yan görünüş ve üst görünüş.
Bir cismin önünden baktığımızda genişlik ve yüksekliği, yanından baktığımızda derinlik ve yüksekliği, üstünden baktığımızda ise genişlik ve derinliği incelememiz gerekir.
Özellikle birim küplerden oluşan cisimlerde görünüşleri doğru belirlemek için küplerin konumlarını dikkatlice incelemek gerekir. Bir cismin bütününü tek seferde anlamaya çalışmak yerine onu küçük parçalara ayırmak soruları çok daha kolay hâle getirir.
Unutma!
Önden bak → Ön görünüş
Yandan bak → Yan görünüş
Üstten bak → Üst görünüş
Bakış yönünü doğru belirle → Görünüşü doğru çiz!