LGS Matematik sınavının temelini oluşturan, her yıl doğrudan 2-3 sorunun geldiği ve sonraki tüm üniteleri etkileyen en kritik konu 1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar konusudur. LGS soruları artık sadece düz işlem yapmayı değil, sorunun mantığını anlayıp yeni nesil problemlere dökmeyi gerektiriyor. Bu dev rehberde; pozitif tam sayıların çarpanlarını, asal sayıları, aralarında asallığı ve en önemlisi öğrencilerin korkulu rüyası olan EBOB-EKOK farkını en pratik taktiklerle öğreneceksiniz. Sayfanın sonundaki yeni nesil LGS tarzı sorularla da konuyu tamamen pekiştireceğiz!
BÖLÜM 1: Pozitif Tam Sayıların Çarpanları ve Asal Sayılar
Bir pozitif tam sayıyı kalansız (tam) olarak bölebilen her pozitif tam sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Bir sayının çarpanları ile bölenleri tamamen aynı şeydir.
Pozitif Tam Sayıların Çarpanlarını Bulma (Gökkuşağı Yöntemi)
Bir sayının çarpanlarını bulurken küçükten büyüğe sıralayıp baştan ve sondan eşleştirme yaptığımızda gökkuşağı şekli oluşur.
- Örnek: 24 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım:
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
24’ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (Toplam 8 tane çarpanı vardır).
Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar
1 ve kendisinden başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
- En küçük asal sayı 2’dir. 2’den başka çift asal sayı yoktur.
- 1 asal sayı değildir.
- İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41…
Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri
Bir sayının içindeki asal çarpanları bulmak için iki temel yöntem kullanırız:
- Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi): Sayının sağından dikey bir çizgi çekilir ve en küçük asal sayıdan başlanarak sürekli bölünür.
- Örnek (60 Sayısı):
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
60 = 2² . 3 . 5 (60’ın asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir).
- Örnek (60 Sayısı):
- Çarpan Ağacı Yöntemi: Sayı oklara ayrılarak en küçük asal sayılardan dallandırılır.
BÖLÜM 2: Aralarında Asal Sayılar
1’den başka ortak böleni (çarpanı) olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayıya aralarında asal sayılar denir.
⚠️ KRİTİK NOT: Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal olmasına gerek yoktur!
- Örnek: 8 ve 15 sayılarını inceleyelim. 8 asal değildir (2’ye bölünür), 15 de asal değildir (3 ve 5’e bölünür). Ancak 8 ve 15’in 1’den başka ortak böleni olmadığı için 8 ve 15 aralarında asaldır.
Aralarında Asallığın Altın Kuralları:
- 1 ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır (Örn: 1 ve 99).
- Ardışık doğal sayılar daima aralarında asaldır (Örn: 14 ve 15, 23 ve 24).
- Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır (Örn: 9 ve 11, 19 ve 21).
BÖLÜM 3: EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir.
EBOB Nasıl Hesaplanır?
Sayılar yan yana yazılarak asal çarpan algoritması yapılır. Her iki sayıyı da aynı anda bölen asal sayıların yanına bir işaret (yıldız veya daire) konur. İşaretli sayıların çarpımı bize EBOB’u verir.
- Örnek: 24 ve 36 sayılarının EBOB’unu bulalım:
24 36 | 2 * (Her ikisini de böldü)
12 18 | 2 * (Her ikisini de böldü)
6 9 | 2
3 9 | 3 * (Her ikisini de böldü)
1 3 | 3
1
EBOB(24, 36) = 2 . 2 . 3 = 12 olur.
📌 LGS TAKTİĞİ: Bir Sorunun EBOB Sorusu Olduğunu Nasıl Anlarız?
Soruda BÜTÜNDEN PARÇAYA gidiş varsa, yani büyük bir şeyler daha küçük eş parçalara ayrılıyorsa o soru %100 EBOB sorusudur.
- Anahtar Kelimeler ve Kalıplar:
- Çuvallardaki, bidonlardaki malzemeler daha küçük poşetlere, şişelere paylaştırılıyorsa,
- Büyük bir tarlanın/bahçenin etrafına eşit aralıklarla direk veya ağaç dikiliyorsa,
- Kumaşlar, tahtalar, demir çubuklar eş parçalara kesiliyorsa,
- Dikdörtgen şeklindeki bir zemin eş kare fayanslarla kaplanıyorsa EBOB kullanılır.
BÖLÜM 4: EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların En Küçük Ortak Kati (EKOK) denir.
EKOK Nasıl Hesaplanır?
Sayılar yan yana yazılarak asal çarpan algoritması yapılır. Çizginin sağında kalan tüm asal sayıların çarpımı bize EKOK’u verir.
- Örnek: 12 ve 18 sayılarının EKOK’unu bulalım:
12 18 | 2
6 9 | 2
3 9 | 3
1 3 | 3
1
EKOK(12, 18) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36 olur.
📌 LGS TAKTİĞİ: Bir Sorunun EKOK Sorusu Olduğunu Nasıl Anlarız?
Soruda PARÇADAN BÜTÜNE gidiş varsa, yani küçük parçalar birleşerek daha büyük bir zaman dilimi veya büyük bir yapı oluşturuyorsa o soru %100 EKOK sorusudur.
- Anahtar Kelimeler ve Kalıplar:
- Cevizler, bilyeler, nesneler 3’er, 5’er sayılıp sondan artma/eksilme oluyorsa,
- Gemiler, trenler, otobüsler veya nöbetçi doktorlar aynı anda tekrar ne zaman birlikte hareket eder/nöbet tutar deniliyorsa (Zaman soruları),
- Ziller belirli aralıklarla birlikte ne zaman çalar deniliyorsa,
- Küçük tuğlalar veya fayanslar yan yana getirilerek büyük bir kare zemin oluşturuluyorsa EKOK kullanılır.
BÖLÜM 5: EBOB – EKOK Altın Özellikleri
Matematik sorularında formül hayat kurtarır. Şu 3 kuralı formül defterinize mutlaka not edin:
- Sayıların Çarpımı Kuralı: İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına daima eşittir.
$$\text{A} \times \text{B} = \text{EBOB(A, B)} \times \text{EKOK(A, B)}$$ - Aralarında Asal Sayıların EBOB-EKOK’u: Aralarında asal iki sayının EBOB’u daima 1‘dir. EKOK’u ise bu iki sayının çarpımına eşittir.
- Örnek: 5 ve 8 aralarında asaldır. $\text{EBOB(5, 8)} = 1$, $\text{EKOK(5, 8)} = 5 \times 8 = 40$’tır.
- Birbirinin Katı Olan Sayılar: Birbirinin tam katı olan iki sayıdan küçük olan sayı EBOB‘u, büyük olan sayı ise EKOK‘u verir.
- Örnek: 10 ve 30 sayılarını ele alalım. $\text{EBOB(10, 30)} = 10$, $\text{EKOK(10, 30)} = 30$’dur.
🎯 YENİ NESİL LGS TARZI SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ
Soru 1: (EBOB – Ağaç Dikme Problemi)
Kenar uzunlukları 40 metre ve 56 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla direkler dikilecektir.
Buna göre bu iş için en az kaç direk gereklidir?
- A) 12
- B) 24
- C) 16
- D) 20
Çözüm:
Bahçenin kenarları eşit aralıklara bölüneceği için bütünden parçaya gidiyoruz, yani bir EBOB sorusudur. Direk sayısının en az olması için aralığın en büyük olması gerekir.
- 40 ve 56’nın EBOB’unu bulalım:
40 56 | 2*
20 28 | 2*
10 14 | 2*
5 7 | 5
1 7 | 7
1 - $\text{EBOB(40, 56)} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ metre (İki direk arasındaki mesafe).
- Direk sayısını bulmak için Çevre / Aralık formülünü kullanırız:
Bahçenin Çevresi = $2 \times (40 + 56) = 2 \times 96 = 192$ metre.
Direk Sayısı = $192 / 8 = 24$ adet direk gerekir.
Doğru Cevap: B
Soru 2: (EKOK – Otobüs Seferi/Zaman Problemi)
Gaziantep otogarından kalkan iki farklı otobüs firmasından A firmasının otobüsleri her 45 dakikada bir, B firmasının otobüsleri ise her 60 dakikada bir sefere çıkmaktadır. Bu iki firmanın otobüsleri ilk kez sabah saat 08.00’de birlikte sefere çıkmışlardır.
Buna göre, bu otobüsler ikinci kez saat kaçta tekrar birlikte sefere çıkarlar?
- A) 10.00
- B) 11.00
- C) 11.30
- D) 12.00
Çözüm:
Zamanların birleşmesi ve tekrar aynı anda gerçekleşmesi istendiği için parçadan bütüne gidiyoruz, yani bir EKOK sorusudur.
- 45 ve 60 sayılarının EKOK’unu bulalım:
45 60 | 2
45 30 | 2
45 15 | 3
15 5 | 3
5 5 | 5
1 1 - $\text{EKOK(45, 60)} = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180$ dakika.
- 180 dakikanın kaç saat olduğunu bulalım: $180 / 60 = 3$ saat.
- İlk sefer saat 08.00’de olduğuna göre, 3 saat ekleriz: $08.00 + 03.00 = 11.00$ olur.
Doğru Cevap: B
ÜNİTE ÖZETİ: “Bunu Bilmeden Sınava Girme!”
- Çarpanlar ile bölenler aynı şeydir.
- Büyük parçalar küçük parçalara bölünüyorsa EBOB, küçük zamanlar/parçalar birleşiyorsa EKOK kullanılır.
- İki sayının çarpımı, o sayıların EBOB ve EKOK’larının çarpımına eşittir.
- Aralarında asal sayıların EBOB’u daima 1’dir.